Question

已知命題p：?x∈R，x²+2x+m-5＜0，命題q：?k∈R，直線kx-y+k+1=0與橢圓

x2

4

+

y2

m

=1有公共點(diǎn)．若命題“p 且q”為真命題，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：若命題p為真，則m＜-（x-1）²+6，利用二次函數(shù)的單調(diào)性可得m＜6．
若命題q為真，由于直線kx-y+k+1=0過(guò)定點(diǎn)（-1，1），直線kx-y+k+1=0與橢圓

x2

4

+

y2

m

=1有公共點(diǎn)，可得點(diǎn)（-1，1）在橢圓內(nèi)或在橢圓上，解出即可．由于命題“p 且q”為真命題，可得p與q為真命題，即可得出．

解答： 解：若命題p為真，則m＜-（x-1）²+6，∴m＜6．
若命題q為真，∵直線kx-y+k+1=0過(guò)定點(diǎn)（-1，1），直線kx-y+k+1=0與橢圓

x2

4

+

y2

m

=1有公共點(diǎn)，
∴點(diǎn)（-1，1）在橢圓內(nèi)或在橢圓上，∴

m＞0，m≠4 1 4 + 1 m ≤1

，解得m≥

4

3

，且m≠4．
∵命題“p 且q”為真命題，
∴p與q為真命題，
∴m的取值范圍為m∈[

4

3

，4)∪(4，6)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、直線與橢圓的相交問(wèn)題、簡(jiǎn)易邏輯的判定，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．