Question

已知某精密儀器生產(chǎn)總成本C（單位：萬元）與月產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系為C=100+4x，月最高產(chǎn)量為150臺(tái)，出廠單價(jià)p（單位：萬元）與月產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系為p=25+

1

80

x-

1

1800

x2．
（1）求月利潤(rùn)L與產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式L（x）；
（2）求月產(chǎn)量x為何值時(shí)，月利潤(rùn)L（x）最大？最大月利潤(rùn)是多少？

Answer 1

分析：（1）月利潤(rùn)函數(shù)L（x）=出廠單價(jià)p×月產(chǎn)量x-成本C，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；
（2）由（1）知，利潤(rùn)函數(shù)L（x）是x的三次函數(shù)，對(duì)L（x）求導(dǎo)，令L'（x）=0，解得x的值，得出L（x）取最大值以及對(duì)應(yīng)x的值．

解答：解：（1）月利潤(rùn)函數(shù)為：L(x)=px-C=(25+

1

80

x-

1

1800

x2)x-(100+4x)=-

1

1800

x3+

1

80

x2+21x-100，
其中0＜x≤150．
（2）因?yàn)槔麧?rùn)函數(shù)L（x）是x的三次函數(shù)，對(duì)L（x）求導(dǎo)，得L′(x)=-

1

600

x2+

1

40

x+21=-

1

600

(x2-15x-12600)=-

1

600

(x-120)(x+105)；
令L'（x）=0，解得x=120，或x=-105（舍去），
當(dāng)x∈（0，120）時(shí)，L'（x）＞0；當(dāng)x∈（120，150]時(shí)，L'（x）＜0；
因此，當(dāng)x=120時(shí)，L（x）取最大值；
所以，月產(chǎn)量為120臺(tái)時(shí)，月利潤(rùn)L（x）最大，最大月利潤(rùn)為L(zhǎng)（120）=1640萬元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三次函數(shù)模型的應(yīng)用，求三次函數(shù)在某一區(qū)間上的最值問題時(shí)，通常用求導(dǎo)法．