Question

【題目】如圖，已知， 是橢圓的左右焦點(diǎn)， 為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，直線與軸的交點(diǎn)為， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，且， ．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線分別與橢圓交于， 兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），證明：直線過定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析， .

【解析】試題分析：

（1）由題意可得為的中位線，從而可得，故，且，然后根據(jù)和可得， ，由此可得橢圓的方程．（2）分別設(shè)出直線直線的方程，解方程組可得點(diǎn)， 的坐標(biāo)，經(jīng)分析題意可得定點(diǎn)必在軸上，不妨設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)直線的斜率相等建立關(guān)于的等式，結(jié)合點(diǎn)， 的坐標(biāo)經(jīng)計(jì)算可得定點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：

（1）由題意得，

∴為的中位線，

∴，

∴，

∴，

又， ，

∴， ，

∴橢圓方程為．

（2）設(shè)， ，直線： ，

由 消去y整理得，

解得或（舍去）．

∴，

以代替上式中的，可得．

由題意可得，若直線關(guān)于軸對(duì)稱后得到直線，

則得到的直線與關(guān)于軸對(duì)稱，

所以若直線經(jīng)過定點(diǎn)，該定點(diǎn)一定是直線與的交點(diǎn)，故該點(diǎn)必在軸上．

設(shè)該點(diǎn)坐標(biāo)，則有，

∴ ，

將的值代入上式，化簡(jiǎn)得，

∴直線經(jīng)過定點(diǎn)．