Question

某學校為調查高二年級學生的身高情況，按隨機抽樣的方法抽取200名學生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖（圖（1））和女生身高情況的頻率分布直方圖（圖（2））．已知圖（1）中身高在170～175cm的男生人數有48人．

（Ⅰ）在抽取的學生中，身高不超過165cm的男、女生各有多少人？并估計男生的平均身高．
（Ⅱ）在上述200名學生中，從身高在170～175cm之間的學生按男、女性別分層抽樣的方法，抽出7人，從這7人中選派4人當旗手，求4人中至少有一名女生的概率．

Answer 1

考點：列舉法計算基本事件數及事件發(fā)生的概率,頻率分布直方圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（I）由圖（1）知：身高在170～175cm的男生的頻率為0.08×5=0.4，進而點到男生總人數與女生總人數，根據身高不超過165cm的男生女生的頻率即可得出人數，取男生的每一組的中點乘以人數的和即可得出平均身高．
（II）分別計算出身高在170～175cm之間的學生按男生女生人數，按比例得出抽出7人中，有6個男生，1個女生，而這7人中選派4人當旗手的方法數共有

∁

4 7

（種），4人中至少有一名女生的方法數為

∁

3 6

（種），利用古典概型的概率計算公式即可得出．

解答： 解：（I）由圖（1）知：身高在170～175cm的男生的頻率為0.08×5=0.4，
設男生總人數為m，則m×0.4=48，∴m=120（人），
∴女生總人數為200-120=80（人），
∴身高不超過165cm的男生有120×0.01×5=6（人），
身高不超過165cm的女生有80×（0.02+0.06+0.06）×5=56（人），
男生的平均身高為：162.5×0.01×5+167.5×0.04×5+172.5×0.08×5+177.5×0.04×5
+182.5×0.02×5+187.5×0.01×5=173.75（cm）．
（II）身高在170～175cm之間的學生按男生為120×0.08×5=48（人），
身高在170～175cm之間的學生按女生為80×0.02×5=8（人），
∵48：8=6：1，∴抽出7人中，有6個男生，1個女生，
∴這7人中選派4人當旗手的方法數共有

C

4 7

=35（種），
4人中至少有一名女生的方法數為

C

3 6

=20（種），
∴4人中至少有一名女生的概率為p=

20

35

=

4

7

．

點評：本題考查了頻率分布直方圖的有關知識與計算、古典概型的概率計算公式，考查了學會看圖及用圖，考查了計算能力，屬于中檔題．