Question

【題目】已知函數(shù).

（1）試討論的單調性；

（2）當函數(shù)有三個不同的零點時，的取值范圍恰好是，求的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求得，然后對與的大小關系進行分類討論，分析導數(shù)的符號變化，可得出函數(shù)的單調遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；

（2）由題意可知，可得出函數(shù)的兩個極值分別為、，由題意得出，由此得出，令，由題意得，進而可得出實數(shù)的值.

（1），.

當時，，此時，函數(shù)在上單調遞增；

當時，令，得，令，得或.

此時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和；

當時，令，得，令，得或.

此時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和.

綜上所述，當時，函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和；

當時，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為和；

（2）當時，函數(shù)在上單調遞增，至多一個零點，不合乎題意，

所以，，則函數(shù)有兩個極值，.

若函數(shù)有三個不同的零點，則，即，

由于的取值范圍恰好是，

令，則該函數(shù)的三個零點分別為、、.

由，得或；

由，得或；

由，得或.

因此，.