Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=x²+（2-a）x，a≥0，若對任意x∈R，都有f（x-

2

a）≤f（x），則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：x＞0時，f′（x）=2x+2-a，所以0≤a≤2時，對于x＞0時的函數(shù)f（x）是增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)圖象在對稱區(qū)間上的單調性及經過原點的情況即可判斷出f（x）在R上單調遞增，所以便能得到f（x-

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a）≤f（x）；a＞2時，畫出f（x）及f（x-

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a）的圖象，通過圖象即可看出a滿足的范圍，所以對以上兩種情況的a的范圍求并集即可．

解答： 解：f′（x）=2x+2-a；
∴①0≤a≤2，且x＞0時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
∵f（x）在R上是奇函數(shù)，f（0）=0，且（0，0）滿足x＞0時的解析式f（x）；
∴函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
又a≥0，x-

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a≤x；
∴對任意x∈R，f（x-

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a）≤f（x）；
②a＞2時，f（x）=0有兩實根x=0，a-2，根據(jù)f（x）是奇函數(shù)，及x＞0時的解析式及平移的知識畫出f（x），f（x-

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a）的圖象如下：

由圖象可已看出B點應在A點右邊或與A重合；
∴2-a+

2

a≥a-2；
解得a≤2（2+

2

）；
∴2＜a≤2（2+

2

）；
綜上得a的取值范圍為[0，2（2+

2

）]．
故答案為：[0，2（2+

2

）]．

點評：考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調性，通過判斷導數(shù)符號判斷函數(shù)單調性的方法，根據(jù)單調性的定義比較兩函數(shù)值大小的方法，平移的知識，以及數(shù)形結合的解題方法．