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13.已知函數(shù)f(x)=lnx+x.
(1)求函數(shù)f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)若方程f(x)=mx在區(qū)間[1,e2]內(nèi)有唯一實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)導數(shù)值即為該點處的斜率,點斜式可得切線方程.
(2)分離變量,將原方程解的個數(shù)轉化為直線y=m與函數(shù)gx=lnx+xx的交點個數(shù),再求導得函數(shù)g(x)的單調性與草圖,即可求得實數(shù)m的取值范圍.

解答 解:(1)∵fx=1x+1=x+1x,k=f'(1)=2,
∴切線方程為y-1=2(x-1),
即y=2x-1
(2)由題意m=lnx+xx在區(qū)間[1,e2]內(nèi)有唯一實數(shù)解
gx=lnx+xx,x∈[1,e2],
gx=1lnxx2=0,解得x=e,
∴函數(shù)g(x)在區(qū)間[1,e]上單調遞增,在區(qū)間[e,e2]上單調遞減
又g(1)=1,ge2=e2+2e2g1
m[1e2+2e2
或m=g(e)=1+ee
m[1e2+2e2∪{1+ee}.

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用,函數(shù)的極值以及切線方程的求法,考查轉化思想以及計算能力.

練習冊系列答案
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