Question

已知函數(shù)f（x）=ex+

1

ex

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若對所有x≤0都有f（x）≥ax+1，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可求出函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax-1=e^-x+（e-a）x-1，即g（x）≥g（0）=0成立，分類討論并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得f'（x）=-e^-x+e，…（1分）
令f'（x）＞0得x＞-1；令f'（x）＜0得x＜-1．
因此，函數(shù)f （x）在（-∞，-1]上單調(diào)減函數(shù)，在[-1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，…（5分）
當(dāng)x=-1時，f（x）的有極小值也是最小值，f（x）_min=0…（6分）
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax-1=e^-x+（e-a）x-1，
則g'（x）=-e^-x+（e-a），g（0）=0．…（8分）
（1）當(dāng)e-a≤0，即a≥e時，g'（x）=-e^-x+（e-a）＜0，g（x）在（-∞，0]是減函數(shù)，
因此當(dāng)x≤0時，都有g(shù)（x）≥g（0）=0，即f（x）-ax-1≥0，f（x）≥ax+1；…（10分）
（2）當(dāng)a＜e時，令g'（x）＜0得x＜-ln（e-a）；令g'（x）＞0得x＞-ln（e-a），
因此函數(shù)g（x）在（-∞，-ln（e-a）]上是減函數(shù)，在[-ln（e-a），+∞）上是增函數(shù)．
由于對所有x≤0都有f（x）≥ax+1，即g（x）≥g（0）=0成立，
因此-ln（e-a）≥0，e-a≤1，a≥e-1，又a＜e，
所以e-1≤a≤e．…（13分）
綜上所述，a的取值范圍是[e-1，+∞）．…（14分）

點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，考查學(xué)生恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想的運用能力，屬于難題．