Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2x+4
（1）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（2）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，并用單調(diào)性的定義證明；
（3）求函數(shù)y=f（x），x∈[t，t+1]的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）列表描點(diǎn)連線即可得出函數(shù)的圖象，
（2）先由圖象得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再利用定義證明即可，
（3）進(jìn)行分類討論，得到函數(shù)耳朵最小值．

解答： 解：（1）列表

x	…	-1	0	1	2	3	…
f（x）	…	7	4	3	4	7	…

描點(diǎn)連線圖象如圖所示，
（2）由圖象可知，函數(shù)f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，∞）上單調(diào)遞增，
理由如下，設(shè)x₁，＜x₂∈（（-∞，1），則f（x₁）-f（x₂）=x₁²-2x₁+4-（x₂²-2x₂+4）=x₁²-2x₁-x₂²+2x₂=（x₁+x₂）（x₁-x₂）-2（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（（x₁+x₂）-2），
∵x₁，＜x₂∈（（-∞，1），
∴x₁-x₂＜0，（x₁+x₂）-2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，
同理可證函數(shù)f（x）在（1，∞）上單調(diào)遞增，
（3）當(dāng)t≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在∈[t，t+1]上單調(diào)遞增，故f（x）_min=f（t）=3t²-2t+4，
當(dāng)t≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在∈[t，t+1]上單調(diào)遞減，故f（x）_min=f（t+1）=3（t+1）²-2（t+1）+4=3t²+4t+5，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，f（x）_min=f（1）=3，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的圖象單調(diào)性，最值，屬于基礎(chǔ)題．