Question

【題目】函數(shù)對任意的滿足:,當時,

（1）求出函數(shù)在R上零點；

（2）求滿足不等式的實數(shù)的范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】

(1)根據(jù)奇偶函數(shù)的定義、函數(shù)的周期定義,結(jié)合已知可以判斷出該函數(shù)的奇偶性和周期,可以判斷出時,的零點情況,最后利用函數(shù)的奇偶性和周期求出函數(shù)在R上零點；

(2)先判斷出當時,函數(shù)的單調(diào)性,再利用函數(shù)的奇偶性,可以化簡不等式,最后求出實數(shù)的范圍.

(1)因為 ,所以函數(shù)是周期為2的奇函數(shù).

因為,所以當時,函數(shù)沒有零點,根據(jù)奇函數(shù)的對稱性可知：當

,函數(shù)沒有零點,而,令,有,而由奇函數(shù)的性質(zhì)可知：,所以有,因此當時,函數(shù)有三個零點,又因為函數(shù)的周期是2,所以函數(shù)的零點為：,即；

(2)設(shè),因此.

,

因為,所以,因此,故函數(shù)在時是增函數(shù).

因為函數(shù)是奇函數(shù),所以

因為 ,所以,,因此當時,根據(jù)單調(diào)性可知：

.