Question

15．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）它的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，一個(gè)焦點(diǎn)是（-1，0），過直線x=3上一點(diǎn)M引橢圓E的兩條切線，切點(diǎn)分別是A和B．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若在橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線方程是$\frac{{x}_{0}x}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}_{0}y}{^{2}}$=1．求證：直線AB恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅲ）記點(diǎn)C為（Ⅱ）中直線AB恒過的定點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)λ，使得$|{\overrightarrow{AC}}|+|{\overrightarrow{BC}}|=λ|{\overrightarrow{AC}}|•|{\overrightarrow{BC}}|$成立，若成立求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)是（-1，0），故c=1，再由離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求出a和b的值，從而求得橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)（3，t），求出切線方程，再把點(diǎn)M代入切線方程，說明點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都適合方$x+\frac{t}{2}y=1$，而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，從而求出定點(diǎn)；
（Ⅲ）將直線AB的方程$x+\frac{t}{2}y=1$，代入橢圓方程，求出兩根的積和兩根的和，求出$\overrightarrow{|AC|}$，$\overrightarrow{|BC|}$的長(zhǎng)，求出λ的值看在不在，再進(jìn)行判斷．

解答 （Ⅰ）解：設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)是（-1，0），故c=1，
又$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$a=\sqrt{3}，b=\sqrt{2}$，
∴所求的橢圓E的方程為$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
（Ⅱ）證明：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)（3，t），
則切線方程分別為$\frac{{{x_1}x}}{3}+\frac{{{y_1}y}}{2}=1$，$\frac{{{x_2}x}}{3}+\frac{{{y_2}y}}{2}=1$，
又兩切線均過點(diǎn)M，即${x_1}+\frac{t}{2}{y_1}=1$，${x_2}+\frac{t}{2}{y_2}=1$，即點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都適合方程$x+\frac{t}{2}y=1$，
故直線AB的方程是$x+\frac{t}{2}y=1$，顯然直線$x+\frac{t}{2}y=1$恒過點(diǎn)（1，0），故直線AB恒過定點(diǎn)（1，0）；
（Ⅲ）解：將直線AB的方程$x+\frac{t}{2}y=1$，代入橢圓方程，
得$（\frac{t^2}{2}+3）{y^2}-2ty-4=0$，
∴${y_1}+{y_2}=\frac{4t}{{{t^2}+6}}，{y_1}{y_2}=\frac{-8}{{{t^2}+6}}$，不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0，
則$|{\overrightarrow{AC}}|=\frac{{\sqrt{{t^2}+4}}}{2}{y_1}$，同理$|{\overrightarrow{BC}}|=-\frac{{\sqrt{{t^2}+4}}}{2}{y_2}$，
∴$\frac{1}{{|{\overrightarrow{AC}}|}}+\frac{1}{{|{\overrightarrow{BC}}|}}=\frac{2}{{\sqrt{{t^2}+4}}}（\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_2}）=\frac{2}{{\sqrt{{t^2}+4}}}•\frac{{\sqrt{48（{t^2}+4）}}}{8}=\sqrt{3}$．
即$|{\overrightarrow{AC}}|+|{\overrightarrow{BC}}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow{AC}}|•|{\overrightarrow{BC}}|$，
故存在實(shí)數(shù)λ=$\sqrt{3}$，使得$|{\overrightarrow{AC}}|+|{\overrightarrow{BC}}|=λ|{\overrightarrow{AC}}|•|{\overrightarrow{BC}}|$成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓錐曲線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．