Question

6．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品都分為正品與次品．其中生產(chǎn)甲產(chǎn)品為正品的概率是$\frac{4}{5}$，生產(chǎn)乙產(chǎn)品為正品的概率是$\frac{3}{4}$；生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品相互獨立，互不影響．生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品，若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元．計算以下問題：
（Ⅰ）記X為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品所得的總利潤，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（Ⅱ）求生產(chǎn)4件產(chǎn)品甲所獲得的利潤不少于110元的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)隨機變量X的所有取值，計算對應(yīng)的概率，寫出X的分布列，計算數(shù)學(xué)期望EX；
（Ⅱ）計算“生產(chǎn)4件芯片甲所獲得的利潤不少于110元”的概率值即可．

解答 解：（Ⅰ）隨機變量X的所有取值為90，45，30，-15；
P（X=90）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{5}$；P（X=45）=$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{20}$；
P（X=30）=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{5}$；P（X=-15）=$\frac{1}{5}$×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{20}$．
所以，隨機變量X的分布列為：

X	90	45	30	-15
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{20}$

EX=90×$\frac{3}{5}$+45×$\frac{3}{20}$+30×$\frac{1}{5}$+（-15）×$\frac{1}{20}$=66；
（Ⅱ）設(shè)“生產(chǎn)4件芯片甲所獲得的利潤不少于110元”為事件A，
則$P（A）={（\frac{4}{5}）^4}+C_4^3{（\frac{4}{5}）^3}\frac{1}{5}=\frac{512}{625}$．…（12分）

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，以及概率的計算問題，是基礎(chǔ)題目．