Question

17．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-2{x^2}-4x+1，\;\;x≤0\\ x+1，\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x＞0.\end{array}\right.$
（1）計算f（f（${log_2}\frac{1}{4}$））的值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）+c，若函數(shù)g（x）有三個零點，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（${log_2}\frac{1}{4}$）的值，再求出f（f（${log_2}\frac{1}{4}$））的值即可；
（2）通過討論x的范圍結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）畫出f（x）的圖象，結(jié)合圖象求出c的范圍即可．

解答 解：（1）由已知得f（${log_2}\frac{1}{4}$）=f（-2）=-2×（-2）²-4×（-2）+1=1．
∴f（f（${log_2}\frac{1}{4}$））=f（1）=1+1=2…（3分）
（2）當x≤0時，函數(shù)f（x）=-2x²-4x+1=-2（x+1）²+3．
根據(jù)拋物線的性質(zhì)知，f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，0]上單調(diào)遞減；
當x＞0時，函數(shù)f（x）=x+1，顯然f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上，f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-1）和（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間是[-1，0]…（7分）
（3）作出f（x）的圖象，如圖：

函數(shù)g（x）有三個零點，即方程f（x）+c=0有三個不同實根，
又方程f（x）+c=0等價于方程f（x）=-c，
∴當f（x）的圖象與直線y=-c有三個交點時，
函數(shù)g（x）有三個零點．
數(shù)形結(jié)合得，c滿足，1＜-c＜3，即-3＜c＜-1．
因此，函數(shù)g（x）有三個零點，實數(shù)c的取值范圍是（-3，-1）…（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．