Question

16．定義平面向量的一種運算：$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|sin$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞，給出下列命題：
①$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=$\overrightarrow$?$\overrightarrow{a}$；
②λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$）=（$λ\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow$；
③（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow$?$\overrightarrow{c}$）；
④若$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂）；則$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|x₁y₂-x₂y₁|．
其中所有不正確命題的序號是①④．

Answer 1

分析 利用$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|sin$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞，及其數(shù)量積運算性質(zhì)即可判斷出正誤．

解答 解：對于①：$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|sin$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\overrightarrow$?$\overrightarrow{a}$，故①正確；
對于②λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$）=λ|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|sin$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞，而（$λ\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow$=$|λ\overrightarrow{a}|$$|\overrightarrow|$$cos＜λ\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$，因此λ＜0時，λ（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$）=（$λ\overrightarrow{a}$）?$\overrightarrow$不一定成立．
對于③：（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）?$\overrightarrow{c}$=（$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow{c}$）+（$\overrightarrow$?$\overrightarrow{c}$），顯然不正確；
對于④∵$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow$=（x₂，y₂）；$|\overrightarrow{a}|$=$\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}$，$|\overrightarrow|$=$\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}$，$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=x₁x₂+y₁y₂，$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}}{\sqrt{{x}_{1}^{2}+{y}_{1}^{2}}\sqrt{{x}_{2}^{2}+{y}_{2}^{2}}}$，$sin＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$=$\frac{|{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}|}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$，則$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|x₁y₂-x₂y₁|．正確．
因此只有①④正確．
故答案為：①④．

點評 本題考查了新定義$\overrightarrow{a}$?$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|sin$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞及其數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．