9.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2-x+c(a,b,c∈R且a≠0).
(1)若a=1,b=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若存在實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2)滿足f(x1)=f(x2),是否存在實(shí)數(shù)a,b,c,使f(x)在$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$處的切線斜率為0,若存在,求出一組實(shí)數(shù)a,b,c,否則說(shuō)明理由.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(2)首先由f(x1)=f(x2)代入f(x)整理可得a(x12+x1x2+x22)+b(x1+x2)-1=0;再化簡(jiǎn)可得f′($\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$)≠0;最后判斷出不存在這樣的實(shí)數(shù)a,b,c滿足條件.

解答 解:(1)當(dāng)a=1,b=1時(shí),f(x)=x3+x2-x+c,f(x)的定義域?yàn)镽,
f′(x)=3x2+2x-1,
由f′(x)>0,得x<-1或x>$\frac{1}{3}$;由f′(x)<0,得-1<x<$\frac{1}{3}$,
所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1)和($\frac{1}{3}$,+∞),
f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,$\frac{1}{3}$);
(2)不存在實(shí)數(shù)a,b,c滿足條件.
事實(shí)上,由f(x1)=f(x2)得:a(x13-x23)+b(x12-x22)-(x1-x2)=0
∵x1≠x2∴a(x12+x1x2+x22)+b(x1+x2)-1=0
又f'(x)=3ax2+2bx-1
∴f′( $\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$)=3a( $\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$)2+2b•$\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$-1
=3a•$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{+x}_{2}}^{2}+{{2x}_{1}x}_{2}}{4}$+1-a(${{x}_{1}}^{2}$+x1x2+${{x}_{2}}^{2}$)-1=-$\frac{a}{4}$(x1-x22
∵a≠0且x1-x2≠0∴f′($\frac{{{x}_{1}+x}_{2}}{2}$)≠0,
故不存在實(shí)數(shù)a,b,c滿足條件.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,及導(dǎo)數(shù)的幾何意義等基本知識(shí);同時(shí)考查了學(xué)生分類討論的思想方法與代數(shù)運(yùn)算能力.

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