Question

某廠2013年、2014年某產(chǎn)品的生產(chǎn)量分別為1000件、1050件，由于技術(shù)條件的改進(jìn)，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量逐年遞增．若用函數(shù)f（x）=a•b^x+c（b＞0，且b≠1）模擬該產(chǎn)品的年生產(chǎn)量f（x）與年份x（x∈N^*）的關(guān)系，設(shè)2013年為第一年即x=1．
（1）若b=

1

2

，試求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若b＞1，由于生產(chǎn)規(guī)模的限制，估計2015年該產(chǎn)品的生產(chǎn)量不會突破1200件（即生產(chǎn)量≤1200件），試依此估計求出a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用廠2013年、2014年某產(chǎn)品的生產(chǎn)量分別為1000件、1050件，建立方程組，求出a，c，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）由題意，

a•b+c=1000 a•b2+c=1050

，可得a=

50

b2-b

，c=1000-ab，結(jié)合2015年該產(chǎn)品的生產(chǎn)量不會突破1200件（即生產(chǎn)量≤1200件），可得ab³+c≤1200，確定b的范圍，即可求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意，

1 2 a+c=1000 1 4 a+c=1050

，∴a=-200，c=1100，
∴f(x)=-200(

1

2

)x+1100(x∈N*)；（6分）
（2）由題意，

a•b+c=1000 a•b2+c=1050

，
∴a=

50

b2-b

，c=1000-ab
∵2015年該產(chǎn)品的生產(chǎn)量不會突破1200件（即生產(chǎn)量≤1200件），
∴ab³+c≤1200
∴ab³-ab≤200，
∴

50

b2-b

×（b³-b）≤200，
∴b≤3，
∵b＞1，
∴0＜b²-b≤6
∴a=

50

b2-b

≥

25

3

，即a∈[

25

3

，+∞)．（10分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)模型的運(yùn)用，考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．