Question

如圖，已知向量

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，若

a

=（a₁，a₁，a₃），

b

=（b₁，b₂，b₃），

c

=（c₁，c₂，c₃），在向量已有的運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，新定義一種運(yùn)算a×b=（a₂b₃-b₂a₃，a₃b₁-a₁b₃，a₁b₂-a₂b₁），顯然

a

×

b

的結(jié)果仍為一個(gè)向量，記作p．
（1）求證：向量

p

為平面OAB的法向量；
（2）求證：以O(shè)A，OB為邊的平行四邊形OADB的面積等于|

a

×

b

|；
（3）將四邊形OADB按向量c平移，得到一個(gè)平行六面體OADB-CA₁D₁B₁，是判斷平行六面體的體積V與（

a

×

b

）•

c

的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由題意，得

p

⊥

a

，

p

⊥

b

，由此能證明

p

為平面OAB的法向量．
（2）設(shè)

a

，

b

夾角為θ，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃，S_OABD²=（|

a

||

b

|sinθ）²，由此能證明S_OABD=|

a

×

b

|．
（3）（

a

×

b

）•

c

=

OC

向量在面OAB法向量上的投影×|

p

|，

p

=

a

×

b

的幾何意義是|

p

|=|

a

|•|

b

|•sin＜

a

，

b

＞，由此能求出V=|（

a

×

b

）•

c

|．

解答： （1）證明：由題意，得

p

•

a

=（a₁a₂b₃-a₁a₃b₂，a₂a₃b₁-a₁a₂b₃，a₁b₂a₃-a₂b₁b₃），
因?yàn)椋╝₁a₂b₃-a₁a₃b₂）+（a₂a₃b₁-a₁a₂b₃）+（a₁b₂a₃-a₂b₁b₃）=0，
所以

p

⊥

a

，
同理得

p

⊥

b

，
因?yàn)?span id="wk8me0i" class="MathJye">

a

⊥

b

，且

a

，

b

?平面OAB，
所以

p

為平面OAB的法向量．
（2）證明：設(shè)

a

，

b

夾角為θ，

a

•

b

=|

a

|•|

b

|cosθ=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃，
S_OABD²=（|

a

||

b

|sinθ）²
=|

a

|²|

b

|²（1-cos²θ）
=|

a

|²|

b

|²-|

a

|²|

b

|²cos²θ
=（

a

×

b

）²
所以S_OABD=|

a

×

b

|．
（3）（

a

×

b

）•

c

=

OC

向量在面OAB法向量上的投影×|

p

|，

p

=

a

×

b

的幾何意義是|

p

|=|

a

|•|

b

|•sin＜

a

，

b

＞，
∴|

p

|是底面積，
∴V=|

p

|•

OC

在法向量上投影
=|（

a

×

b

）•

c

|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量

p

為平面OAB的法向量的證明，考查以O(shè)A，OB為邊的平行四邊形OADB的面積等于|

a

×

b

|的證明，考查平行六面體的體積V與（

a

×

b

）•

c

的大小的判斷，解題時(shí)要注意向量的數(shù)量積的合理運(yùn)用．