Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=

2

3

，a_n+1=

2an

an+1

，n=1，2，…．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

1

an

-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{

n

an

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：（1）化簡(jiǎn)an+1=

2an

an+1

構(gòu)造新的數(shù)列 {

1

an

-1}，進(jìn)而證明數(shù)列{

1

an

-1}是等比數(shù)列．
（2）根據(jù)（1）求出數(shù)列{

1

an

-1}的遞推公式，得出a_n，進(jìn)而構(gòu)造數(shù)列{

n

an

}，求出數(shù)列{

n

an

}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求出前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由已知：an+1=

2an

an+1

，
∴

1

an+1

=

an+1

2an

=

1

2

+

1

2

•

1

an

，（2分）
∴

1

an+1

-1=

1

2

(

1

an

-1)，
又a1=

2

3

，∴

1

a1

-1=

1

2

，（4分）
∴數(shù)列{

1

an

-1}是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

2

為公比的等比數(shù)列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

1

an

-1=

1

2

•(

1

2

)n-1=

1

2n

，
即

1

an

=

1

2n

+1，∴

n

an

=

n

2n

+n．（8分）
設(shè)Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

++

n

2n

，①
則

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

++

n-1

2n

+

n

2n+1

，②
由①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

++

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，（10分）
∴Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

．又1+2+3++n=

n(n+1)

2

．（12分）
∴數(shù)列{

n

an

}的前n項(xiàng)和：Sn=2-

2+n

2n

+

n(n+1)

2

=

n2+n+4

2

-

2+n

2n

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列達(dá)到求解數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的方法．