Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，$AD=AB=\frac{1}{2}CD=1$，PA⊥平面ABCD，E為PD中點，且PC⊥AE．
（1）求證：PA=AD；
（2）求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明AE⊥平面PCD，AE⊥PD，利用E為PD中點P，可得A=AD；
（2）利用等體積方法，求點A到平面PBC的距離．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD，
∵AE?平面PAD，
∴AE⊥CD，
∵PC⊥AE，PC∩CD=C，
∴AE⊥平面PCD，
∵PD?平面PCD，
∴AE⊥PD，
∵E為PD中點，
∴PA=AD；
（2）解：由題意，PA=AD=1，S_△ABC=$\frac{1}{2}×1×1$=$\frac{1}{2}$，
△PBC中，PB=CB=$\sqrt{2}$，PC=$\sqrt{6}$，∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{2-\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
設點A到平面PBC的距離為h，則$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}h$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查點到平面距離的計算，考查學生的計算能力，屬于中檔題．