Question

17．如圖所示，已知長方體ABCD中，AB=4，AD=2，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得AD⊥BM．
（1）求證：平面ADM⊥平面ABCM；
（2）若點E為線段DB的中點，求點E到平面DMC的距離．

Answer 1

分析 （1）證明：BM⊥平面ADM，即可證明平面ADM⊥平面ABCM；
（2）若點E為線段DB的中點，利用等體積方法求點E到平面DMC的距離．

解答 （I）證明：∵AD=DM=2，CM=BC=2，∠ADM=∠BCM=90°，
∴AM=BM=2$\sqrt{2}$，又AB=4，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
∴AD⊥BM，AD∩AM=A，
∴BM⊥平面ADM，
∵BM?平面ABCM，
∴平面ADM⊥平面ABCM；
（2）解：取AM的中點F，連接DF，CF，則，DM=MC=2，DC=DF=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△DMC=$\sqrt{3}$，
設點E到平面DMC的距離為d，則V_E-DMC=$\frac{1}{2}{V}_{B-DMC}$=$\frac{1}{2}{V}_{D-BMC}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S}_{△BMC}h$=$\frac{1}{6}×2×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴d=$\frac{3{V}_{E-DMC}}{{S}_{△DMC}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查點到平面距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．