Question

7．設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2a（a＞0），一個(gè)焦點(diǎn)為F，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，如果原點(diǎn)到直線FB的距離恰好為實(shí)半軸長(zhǎng)，那么雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

Answer 1

分析 可設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），可得F（c，0），B（0，b），求得直線BF的方程，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合離心率公式可得e的方程，解方程可得離心率．

解答 解：可設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a，b＞0），
可得F（c，0），B（0，b），
直線FB的方程為$\frac{x}{c}$+$\frac{y}$=1，即bx+cy-bc=0，
原點(diǎn)到直線FB的距離恰好為實(shí)半軸長(zhǎng)，
可得$\frac{|0-0-bc|}{\sqrt{^{2}+{c}^{2}}}$=a，
即有b²c²=a²b²+a²c²，
即為（c²-a²）c²=a²（c²-a²）+a²c²，
化為c⁴-3a²c²+a⁴=0，
由e=$\frac{c}{a}$，可得e⁴-3e²+1=0，
解得e²=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$或$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$（舍去），
即有e=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用直線方程和點(diǎn)到直線的距離公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．