Question

12．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F₂作垂直于實(shí)軸的直線PQ交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)，若∠PF₁Q=$\frac{π}{2}$，則雙曲線的離心率e等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$+2
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 根據(jù)題設(shè)條件我們知道|PQ|=$\frac{2^{2}}{a}$，|F₁F₂|=2c，|QF₁|=$\frac{^{2}}{a}$，因?yàn)椤螾F₂Q=90°，則2（$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$+4c²）=$\frac{4^{4}}{{a}^{2}}$，據(jù)此可以推導(dǎo)出雙曲線的離心率．

解答 解：由題意可知通徑|PQ|=$\frac{2^{2}}{a}$，|F₁F₂|=2c，|QF₁|=$\frac{^{2}}{a}$，
∵∠PF₂Q=90°，∴2（$\frac{^{4}}{{a}^{2}}$+4c²）=$\frac{4^{4}}{{a}^{2}}$，∴b⁴=4a²c²
∵c²=a²+b²，∴c⁴-6a²c²+a4=0，∴e⁴-6e²+1=0
∴e²=3+2$\sqrt{2}$或e²=3-2$\sqrt{2}$（舍去）
∴e=$\sqrt{2}$+1．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查計(jì)算能力．