Question

4．雙曲線$C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的左，右焦點分別是F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），M，N兩點在雙曲線上，且MN∥F₁F₂，|F₁F₂|=3|MN|，線段F₁N交雙曲線C于點Q，且Q是線段F₁N的中點，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． 3
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{3}$

Answer 1

分析 由題意可設N（$\frac{1}{3}$c，y），由中點坐標公式可得Q的坐標，將N，Q的坐標分別代入雙曲線方程，解方程結合離心率公式，即可得到所求值．

解答 解：因為MN∥F₁F₂，|F₁F₂|=3|MN|，F(xiàn)₁（-c，0），
所以|MN|=$\frac{2}{3}$c，則可設N（$\frac{1}{3}$c，y），
由Q是線段F₁N的中點知$Q（-\frac{c}{3}，\frac{1}{2}y）$．
分別將N，Q的坐標代入雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，
得$\frac{{\frac{c^2}{9}}}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，$\frac{\frac{{c}^{2}}{9}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4^{2}}$=1，解得$\frac{c^2}{a^2}=9$，
所以$e=\frac{c}{a}=3$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，注意運用中點坐標公式和點滿足雙曲線的方程，考查運算能力，屬于中檔題．