Question

在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，求證：
（1）平面ABD⊥平面BCD
（2）求C點到平面ABD的距離．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）首先通過折疊，把平面問題空間化，利用相關(guān)的線段長求出線面垂直，進一步得到面面垂直．
（2）利用（1）的結(jié)論，利用錐體的體積相等，求得點與面之間的距離．

解答： （1）證明：在直角梯形ABCD中，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，
做AC的中點E，并連接DE，
由于∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，
所以：DE⊥AC
則：DE⊥平面ABC
利用勾股定理解得：DE=

2

，BE=

10

，BD=2

3

由于：AD=2，BD=2

3

，AB=4
所以：AD²+BD²=AB²
AD⊥BD，AD⊥DC
所以：AD⊥平面DBC
AD?平面ADB
所以：平面ABD⊥平面BCD
（2）解：由（1）得：△ABD是直角三角形．
S_△ABD=

1

2

•AD•BD=2

3

設C到平面ABD的距離為h，
V_D-ABC=V_C-ABD

1

3

•

1

2

•2

2

•2

2

•

2

=

1

3

•2

3

•h
解得：h=

2 6

3

即：C點到平面ABD的距離為：

2 6

3

點評：本題考查的知識要點：折疊問題，勾股定理及逆定理的應用，線面垂直的判定，面面垂直的判定定理，錐體的體積計算．屬于基礎題型．