【題目】已知橢圓C的兩個焦點分別為F1(-1,0)、F2(1,0),短軸的兩個端點分別為B1,B2
(1)若△F1B1B2為等邊三角形,求橢圓C的方程;
(2)若橢圓C的短軸長為2,過點F2的直線l與橢圓C相交于P,Q兩點,且,求直線l的方程.
【答案】(1);
(2)或.
【解析】
試題(1)由△F1B1B2為等邊三角形可得a=2b,又c=1,集合a2=b2+c2可求a2,b2,則橢圓C的方程可求;
(2)由給出的橢圓C的短軸長為2,結合c=1求出橢圓方程,分過點F2的直線l的斜率存在和不存在討論,當斜率存在時,把直線方程和橢圓方程聯(lián)立,由根與系數關系寫出兩個交點的橫坐標的和,把轉化為數量積等于0,代入坐標后可求直線的斜率,則直線l的方程可求.
解:(1)設橢圓C的方程為.
根據題意知,解得,
故橢圓C的方程為.
(2)由2b=2,得b=1,所以a2=b2+c2=2,得橢圓C的方程為.
當直線l的斜率不存在時,其方程為x=1,不符合題意;
當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y=k(x﹣1).
由,得(2k2+1)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0.
設P(x1,y1),Q(x2,y2),則
,
因為,所以,即
=
=
=,解得,即k=.
故直線l的方程為或.
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【題目】年微信用戶數量統(tǒng)計顯示,微信注冊用戶數量已經突破億.微信用戶平均年齡只有歲, 的用戶在歲以下, 的用戶在歲之間,為調查大學生這個微信用戶群體中每人擁有微信的數量,現在從北京大學生中隨機抽取位同學進行了抽樣調查,結果如下:
微信群數量 | 頻數 | 頻率 |
至個 | ||
至個 | ||
至個 | ||
至個 | ||
個以上 | ||
合計 |
()求, , 的值.
()若從位同學中隨機抽取人,求這人中恰有人微信群個數超過個的概率.
()以這個人的樣本數據估計北京市的總體數據且以頻率估計概率,若從全市大學生中隨機抽取人,記表示抽到的是微信群個數超過個的人數,求的分布列和數學期望.
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【題目】已知橢圓與直線y=x-2相切,設橢圓的上頂點為M, 是橢圓的左右焦點,且⊿M為等腰直角三角形。(1)求橢圓的標準方程;(2)直線l過點N(0,-)交橢圓于A,B兩點,直線MA、MB分別與橢圓的短軸為直徑的圓交于S,T兩點,求證:O、S、T三點共線。
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【題目】《九章算術》是我國古代數學成就的杰出代表作,其中《方田》章給出計算弧田面積所用的經驗方式為:弧田面積=,弧田(如圖)由圓弧和其所對弦所圍成,公式中“弦”指圓弧所對弦長,“矢”指半徑長與圓心到弦的距離之差,F有圓心角為,半徑等于4米的弧田.下列說法不正確的是( )
A. “弦”米,“矢”米
B. 按照經驗公式計算所得弧田面積()平方米
C. 按照弓形的面積計算實際面積為()平方米
D. 按照經驗公式計算所得弧田面積比實際面積少算了大約0.9平方米(參考數據 )
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【題目】某幼兒園雛鷹班的生活老師統(tǒng)計2018年上半年每個月的20日的晝夜溫差,和患感冒的小朋友人數(/人)的數據如下:
溫差 | ||||||
患感冒人數 | 8 | 11 | 14 | 20 | 23 | 26 |
其中,,.
(Ⅰ)請用相關系數加以說明是否可用線性回歸模型擬合與的關系;
(Ⅱ)建立關于的回歸方程(精確到),預測當晝夜溫差升高時患感冒的小朋友的人數會有什么變化?(人數精確到整數)
參考數據:.參考公式:相關系數:,回歸直線方程是, ,
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【題目】已知函數(其中),(其中為自然對數的底數).
(1)若曲線在處的切線與直線垂直,求的單調區(qū)間和極值;
(2)若對任意,總存在使得成立,求實數的取值范圍.
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【題目】已知函數 .
(1)若函數在上是增函數,求正數的取值范圍;
(2)當時,設函數的圖象與x軸的交點為,,曲線在,兩點處的切線斜率分別為,,求證:+ .
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