Question

【題目】已知橢圓C的兩個焦點分別為F1（-1，0）、F2（1，0），短軸的兩個端點分別為B1，B2

（1）若△F1B1B2為等邊三角形，求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C的短軸長為2，過點F2的直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，且，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或．

【解析】

試題（1）由△F1B1B2為等邊三角形可得a=2b，又c=1，集合a2=b2+c2可求a2，b2，則橢圓C的方程可求；

（2）由給出的橢圓C的短軸長為2，結(jié)合c=1求出橢圓方程，分過點F2的直線l的斜率存在和不存在討論，當(dāng)斜率存在時，把直線方程和橢圓方程聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系寫出兩個交點的橫坐標(biāo)的和，把轉(zhuǎn)化為數(shù)量積等于0，代入坐標(biāo)后可求直線的斜率，則直線l的方程可求．

解：（1）設(shè)橢圓C的方程為．

根據(jù)題意知，解得，

故橢圓C的方程為．

（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得橢圓C的方程為．

當(dāng)直線l的斜率不存在時，其方程為x=1，不符合題意；

當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x﹣1）．

由，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則

，

因為，所以，即

=

=

=，解得，即k=．

故直線l的方程為或．