Question

已知曲線C：

x=3cosθ y=2sinθ

（參數(shù)θ∈[0，2π），直線l：x+2y=10．
（1）設(shè)點P是曲線C上任一點，求P到直線l的距離的最大值和最小值；
（2）以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，取相同的長度單位，求C與直線l的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

考點：參數(shù)方程化成普通方程,簡單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）由曲線C：

x=3cosθ y=2sinθ

（參數(shù)θ∈[0，2π），利用sin²θ+cos²θ=1消去參數(shù)θ，即可得出直角坐標(biāo)方程．設(shè)與此橢圓相切且與直線l：x+2y=10平行的直線為x+2y+m=0．與橢圓方程聯(lián)立化為25y²+16my+4m²-36=0，令△=0，解得m．利用平行線之間的距離公式即可得出．
（2）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

分別代入曲線C與直線l：x+2y=10的方程，即可得出極坐標(biāo)方程．

解答： 解：（1）由曲線C：

x=3cosθ y=2sinθ

（參數(shù)θ∈[0，2π），消去參數(shù)θ，化為

x2

9

+

y2

4

=1．
設(shè)與此橢圓相切且與直線l：x+2y=10平行的直線為x+2y+m=0．
聯(lián)立

x+2y+m=0 x2 9 + y2 4 =1

，化為25y²+16my+4m²-36=0，
令△=256m²-100（4m²-36）=0，
解得m=±5．
∴直線l：x+2y=10與兩條平行切線x+2y±5=0的距離分別：

5

，3

5

．
∴P到直線l的距離的最大值和最小值分別為：3

5

，

5

；
（2）把

x=ρcosθ y=ρsinθ

分別代入曲線C

x2

9

+

y2

4

=1，直線l：x+2y=10的方程，
可得極坐標(biāo)方程：4ρ²cos²θ+9ρ²sin²θ=36，ρcosθ+2ρsinθ-10=0．

點評：本題考查了把極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、平行線之間的距離公式、直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．