Question

已知

a

=（2sin（x+

θ

2

），

3

），

b

=（cos（x+

θ

2

），2cos²（x+

θ

2

）），且0≤θ≤π，f（x）=

a

•

b

-

3

，且f（x）為偶函數(shù)．
（1）求θ；       
（2）求滿足f（x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積化簡(jiǎn)f（x），由f（x）是偶函數(shù)，且0≤θ≤π求出θ的值；
（2）由（1）得f（x）的解析式，f（x）=1時(shí)，求出x∈[-π，π]時(shí)，x的取值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

-

3

=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+

3

×2cos²（x+

θ

2

）-

3

=sin（2x+θ）+

3

（cos（2x+θ）+1）-

3

=2sin（2x+θ+

π

3

），
且f（x）為偶函數(shù)，0≤θ≤π；
∴θ+

π

3

=

π

2

，
解得θ=

π

6

；
（2）∵f（x）=2sin（2x+

π

6

+

π

3

）=2cos2x，
當(dāng)f（x）=1時(shí)，2cos2x=1，∴cos2x=

1

2

；
∴2x=±

π

3

+2kπ，k∈Z，
∴x=±

π

6

+kπ，k∈Z；
∴在x∈[-π，π]時(shí)，x的取值是-

5

6

π，-

π

6

，

π

6

，

5π

6

；
∴x∈{-

5π

6

，-

π

6

，

π

6

，

5π

6

}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的恒等變換以及三角函數(shù)的求值問題，是綜合題．