Question

(本小題滿分13分)函數的部分圖象如下圖所示，該圖象與軸交于點，與軸交于點，為最高點，且的面積為．

（Ⅰ）求函數的解析式；
（Ⅱ），求的值．
（Ⅲ）將函數的圖象的所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），再向左平移個單位，得函數的圖象，若函數為奇函數，求的最小值.

Answer 1

（I）．
（Ⅱ）=；
（Ⅲ）的最小值為.

試題分析：(I)先利用,然后可知周期T，從而得到,再根據f(0)=1,得到,結合,得到,最終確定f(x)的解析式.
(II)由 ，可得,
所以,
再利用余弦的二倍角公式將值代入即可求解.
（I）∵，
∴周期．························ 3分
由，得，
∵，∴，
∴．·························· 5分
（Ⅱ）∵   ∴············ 6分
∴
················ 9分
（Ⅲ）由函數的圖象的所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得函數的圖象，···································· 10分
再向左平移個單位，得函數的圖象
即······················ 11分
∵函數為奇函數  ∴，即
又，∴的最小值為.···················· 13分的圖像及性質，
點評：求三角函數的一般步驟：先求A，,最后再根據特殊點求.
本小題用到二倍角公式:.