Question

【題目】已知橢圓的短軸長為，離心率，其右焦點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過作夾角為的兩條直線分別交橢圓于和，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由已知短軸長求出，離心率求出關(guān)系，結(jié)合，即可求解；

（2）當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，不妨設(shè)直線的方程為，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用相交弦長公式求出，斜率為，求出，得到關(guān)于的表達(dá)式，根據(jù)表達(dá)式的特點(diǎn)用“”判別式法求出范圍，當(dāng)有一斜率不存在時(shí)，另一條斜率為，根據(jù)弦長公式，求出，即可求出結(jié)論.

（1）由得，又由得，

則，故橢圓的方程為.

（2）由（1）知，

①當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，

由對(duì)稱性不妨設(shè)直線的方程為，

由，

，設(shè)，

則，

則，

由橢圓對(duì)稱性可設(shè)直線的斜率為，

則，

.

令，則，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由得，所以，

即，且.

②當(dāng)直線的斜率其中一條不存在時(shí)，

根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)設(shè)直線的方程為，斜率不存在，

則，，

此時(shí).

若設(shè)的方程為，斜率不存在，

則，

綜上可知的取值范圍是.