Question

【題目】如圖，圓的直徑，為圓周上不與點重合的點，垂直于圓所在的平面，．

（1）求證：；

（2）若，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）結合線面垂直的性質得出線線垂直，再利用線面垂直的判定定理得出線線垂直即可．

（2）建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標以及向量的坐標，找到平面的一個法向量，利用向量垂直的性質再結合向量的數量積運算公式求出兩個法向量的夾角的余弦值即可得出兩個平面所成的角的余弦值．

解：（1）如圖，連結，

因為平面，所以．

又因為在圓周上，所以．

又因為平面， 平面，

故平面．

又平面．

故．

（2）因為，所以可以以，為軸建立如圖直角坐標系

則，，，

，．

平面的一個法向量．

設平面的一個法向量．

則，，得，

取，得．

故．