Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=2，任取a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有

f(a)+f(b)

a+b

＞0成立．
（1）證明函數(shù)f（x）在[-1，1]上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）解不等式f（x）＜f（x²）．
（3）若對(duì)任意x∈[-1，1]，函數(shù)f（x）≤2m²-2am+3對(duì)所有的a∈[0，

3

2

]恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性及已知不等式可得差的符號(hào)，由單調(diào)性的定義可作出判斷；
（2）根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可去掉不等式中的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為具體不等式可求，注意函數(shù)定義域；
（3）對(duì)所有x[-1，1]，f（x）≤2m²-2am+3成立，等價(jià)于f（x）_max≤2m²-2am+3，由單調(diào)性易求f（x）_max，從而可化為關(guān)于a的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的性質(zhì)可得關(guān)于m的不等式組．

解答： 解：（1）證明：任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
又f（x）是奇函數(shù)，
于是f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

(x1-x2)．
據(jù)已知

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）f（x）＜f（x²），由函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)知，x＜x²，而-1≤x≤1，-1≤x²≤1
故不等式的解集為{x|-1≤x＜0}．
（3）對(duì)所有x[-1，1]，f（x）≤2m²-2am+3成立，等價(jià)于f（x）_max≤2m²-2am+3，
由f（x）在[-1，1]上的單調(diào)遞增知，f（x）_max=f（1）=2，
所以2≤2m²-2am+3，即0≤2m²-2am+1，
又對(duì)a∈[0，

3

2

]恒成立，則有

2m2+1≥0 2m2-3m+1≥0

，解得m≤

1

2

或m≥1，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為m≤

1

2

或m≥1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用，考查恒成立問(wèn)題．考查轉(zhuǎn)化思想，在解題時(shí)要利用好單調(diào)性和奇偶性的定義．