Question

已知1≤x²+y²≤2，求證：

1

2

≤x²-xy+y²≤3．

Answer 1

考點(diǎn)：不等式的證明,三角函數(shù)的最值

專題：推理和證明

分析：設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，其中1≤r²≤2，0≤θ＜2π，化簡(jiǎn)x²-xy+y²=r²-r²sin2θ=r²（1-

1

2

sin2θ），通過三角函數(shù)的有界性證明

1

2

≤x²-xy+y²≤3．

解答： （文）證明：∵1≤x²+y²≤2，∴可設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，其中1≤r²≤2，0≤θ＜2π
∴x²-xy+y²=r²-r²sin2θ=r²（1-

1

2

sin2θ），
∵

1

2

≤1-

1

2

sin2θ≤

3

2

，∴

1

2

r²≤r²（1-

1

2

sin2θ）≤

3

2

r²，

而

1

2

r²≥

1

2

，

3

2

r²≤3∴

1

2

≤x²-xy+y²≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，三角函數(shù)的有界性的應(yīng)用，三角函數(shù)的最值，考查計(jì)算與推理能力．