Question

已知f（x）是偶函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，且f（x）+g（x）=x²+x+2
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）若不等式f（x）≥ag（x）對任意實數(shù)x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)利用方程組法即可求f（x）和g（x）的解析式；
（2）根據(jù)不等式恒成立進行轉(zhuǎn)化，利用一元二次不等式的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（x）為偶函數(shù)，g（x）為奇函數(shù)
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x）
又∵f（x）+g（x）=x²+x+2    （1）
∴f（-x）+g（-x）=x²-x+2
∴f（x）-g（x）=x²-x+2    （2）
解（1）（2）聯(lián)立的方程組得
f（x）=x²+2，g（x）=x．
（2）∵f（x）≥a g（x）對任意實數(shù)x恒成立
即x²+2≥ax對任意實數(shù)x恒成立
∴x²-ax+2≥0對任意實數(shù)x恒成立
∴△=a²-8≤0
∴-2

2

≤a≤2

2

．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用以及不等式恒成立問題，根據(jù)奇偶性的定義利用方程組法是解決本題的關(guān)鍵．