Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

（a＞0）
（1）判斷它的奇偶性；
（2）求證：f（x）在（0，

a

）上是減函數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)為奇函數(shù)．確定函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的定義，即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)x₁、x₂∈（0，

a

），且x₁＜x₂，按照取值、作差、變形定號(hào)，下結(jié)論的步驟進(jìn)行證明，作差后要因式分解，判斷f（x₁）與f（x₂）的大小．

解答： （1）解：函數(shù)為奇函數(shù)．
函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）
∵f（-x）=-x-

a

x

=-（x+

a

x

）=-f（x）
∴f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：設(shè)x₁、x₂∈（0，

a

），且x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

a

x1

-x₂-

a

x2

=

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

，
∵x₁、x₂∈（0，

a

），∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜a，
∴

(x1-x2)(x1x2-a)

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x₁）＞f（x₂）
∴（x）在（0，

a

）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力；利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性按照取值、作差、變形定號(hào)，下結(jié)論的步驟進(jìn)行．