設函數(shù)對任意實數(shù)x 、y都有，

（1）求的值；

（2）若，求、、的值；

（3）在（2）的條件下，猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明。

 

【答案】

（1）0       （2）4，9，16         （3）

【解析】

試題分析：（1）令x=y=0得f（0+0）=f（0）+f（0）+2×0×0?f（0）=0

(2）f（1）=1， f(2)=f(1+1)=1+1+2=4  f(3)=f(2+1)=4+1+2×2×1=9  f(4)=f(3+1)=9+1+2×3×1=16  

（3）猜想f（n）=，下用數(shù)學歸納法證明之．

當n=1時，f（1）=1滿足條件

假設當n=k時成立，即f（k）=

則當n=k+1時f（k+1）=f（k）+f（1）+2k=+1+2k=（k+1）

從而可得當n=k+1時滿足條件

對任意的正整數(shù)n，都有 f（n）=

考點：抽象函數(shù)及其應用

點評：本題目主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，及數(shù)學歸納法在證明數(shù)學命題中的應用，及利用放縮法證明不等式等知識的綜合．

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（t）=|t+1|-|t-3|．
（I）求f（t）＞2的解集；
（II）設a＞0，g（x）=ax2-2x-5．若對任意實數(shù)x，t，均有g(shù)（x）≥f（t）恒成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年重慶市高三第二次月考理科數(shù)學試卷 題型：解答題

(本小題滿分12分)已知二次函數(shù)對任意實數(shù)x都滿足

，且．令.

（1）求的表達式；

（2）設，證明：對任意，恒有．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年廣東省六校聯(lián)合體高三第二次聯(lián)考數(shù)學文卷 題型：解答題

（本題滿分14分）

    已知二次函數(shù)對任意實數(shù)x都滿足且

   （1）求的表達式；

   （2）設求證：上為減函數(shù)；

   （3）在（2）的條件下，證明：對任意，恒有

 

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)對任意實數(shù)x不等式恒成立，且，令.

（I）求的表達式；

（II）若使成立，求實數(shù)m的取值范圍；

（III）設，，證明：對，恒有

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