Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2的圖象經(jīng)過點M（1，4），且在x=﹣2取得極值．
（ I）求實數(shù)a，b的值；
（ II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上不單調(diào)，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2的圖象經(jīng)過點M（1，4），∴a+b①

又f′（x）=3ax2+2bx，

則f′（﹣2）=0，即﹣6a+2b=0②

由①②解得a=1，b=3；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x3+3x2，f′（x）=3x2+6x

令f′（x）=3x2+6x=0，得：x=﹣2或x=0

當x∈（﹣∞，﹣2）或（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，

當x∈（﹣2，0）時，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)．

∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（m，m+1）上不單調(diào)，

∴m＜﹣2＜m+1或m＜0＜m+1或m＜﹣2＜0＜m+1

解得：﹣3＜m＜﹣2或﹣1＜m＜0

【解析】第一問根據(jù)函數(shù)圖象過點M,得到a,b關(guān)系，再根據(jù)在x=﹣2取得極值，函數(shù)求導，導數(shù)等于0，可得a,b;
第二問先應(yīng)用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)f(x)在區(qū)間（m，m+1）不單調(diào)，可得函數(shù)在（m，m+1）有增有減，可得。
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能得出正確答案．