Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）設(shè)函數(shù)()，討論的單調(diào)性；

（3）若對任意，恒有關(guān)于的不等式成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）.（2）答案見解析.（3）

【解析】

（1）由函數(shù)，求導(dǎo)得到， 再求得，，寫出切線方程.

（2）易得，由在上恒成立，根據(jù)，分，討論求解.

（3）根據(jù)對任意，恒有關(guān)于的不等式成立，轉(zhuǎn)化為，對任意恒成立，設(shè)(，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值即可.

（1）因為

所以，

所以.

因為，

所以，

即所求曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（2）易知，函數(shù)的定義域為，，

且有

.

因為在上恒成立，

所以①當(dāng)時，在上恒成立，此時，

所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

②當(dāng)時，由，即，解得；

由，即，解得.

所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減；

在區(qū)間上單調(diào)遞增.

（3）因為對任意，恒有關(guān)于的不等式成立，

所以 ，對任意恒成立，

設(shè)().

易得，.

令，，

所以.

顯然，當(dāng)時，恒成立.

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，

即在恒成立.

所以，函數(shù)在單調(diào)遞減.

所以有，

所以.

故所求實數(shù)的取值范圍是.