Question

設公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S₅=3a₅-2，a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=

1

anan+1

（n∈N^*），求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列通項公式和前n項和公式及等比數(shù)列性質，得5a₁+10d=3（a₁+4d）-2，(a1+d)2=a1(a1+4d)，由此求出a₁=1，d=2，從而能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n．

解答： 解：（1）設等差數(shù)列{a_n}的公差這d，
則S₅=5a₁+10d，
∴5a₁+10d=3（a₁+4d）-2，
整理，得a₁=d-1，
∵a₁，a₂，a₅依次成等比數(shù)列，
∴a22=a1a5，即(a1+d)2=a1(a1+4d)，
整理，得d=2a₁，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．