Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-（2a+1）x+a+1，若對于x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）a=0時，函數(shù)是一次函數(shù)，成立；（2）a≠0時，通過討論當(dāng)1+

1

2a

≤-1，當(dāng)-1≤1+

1

2a

≤0，當(dāng)0＜1+

1

2a

≤1的情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的范圍．

解答： 解：（1）a=0時，f（x）=-x+1，f（x）在[-1，1]遞減，
∴f（x）_min=f（1）=0，∴a=0時成立，
（2）a≠0時，f（x）是二次函數(shù)，
∴f（x）=ax²-（2a+1）x+a+1=[ax-（a+1）]（x-1），
函數(shù)過定點（1，0），對稱軸x=

2a+1

2a

，
①當(dāng)a＞0時，對稱軸x=

2a+1

2a

=1+

1

2a

＞1，
∴f（x）在[-1，1]遞減，f（x）_min=f（1）=0，成立，
②當(dāng)a＜0時，對稱軸x=

2a+1

2a

=1+

1

2a

＜1，
當(dāng)1+

1

2a

≤-1，即：-

1

4

≤a＜0時，
f（x）在[-1，1]遞減，f（x）_min=f（1）=0，成立，
當(dāng)-1≤1+

1

2a

≤0，即-

1

2

≤a≤-

1

4

時，
f（x）_min=f（1）=0，成立，
當(dāng)0＜1+

1

2a

≤1，即a≤-

1

2

時，
f（x）_min=f（-1）=4a+2≥0，解得：a=-

1

2

，
綜上：a≥-

1

2

．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了分類討論思想，是一道中檔題．