Question

已知函數(shù)f （x）=a-

2

2x+1

是R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）證明：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）求該函數(shù)的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得：f（0）=0，即可解出a．
（2）令0＜x₁＜x₂，利用增函數(shù)的定義只要證明f（x₁）＜f（x₂）即可．
（3）由于2^x＞0，可得0＜

2

2x+1

＜2，可得-1＜1-

2

2x+1

＜1即可得出．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f （x）=a-

2

2x+1

是R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，∴a-

2

1+1

=0，解得a=1．
（2）由（1）可得：f（x）=1-

2

2x+1

．
設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2x1+1

-(1-

2

2x2+1

)=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵0＜x₁＜x₂，∴2x1+1＞0，2x2+1＞0，2x1-2x2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（3）∵2^x＞0，∴0＜

2

2x+1

＜2，∴-1＜1-

2

2x+1

＜1．
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性單調(diào)性、值域，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．