Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，DA⊥平面SAB，BC⊥平面SAB，AB=BC=SA=2AD=2，∠BAS=120°．
（1）求證：平面SCD⊥平面SBC；
（2）求平面SAD與平面SBC所成銳角二面角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）要證明平面SCD⊥平面SBC，根據(jù)面面垂直的判定定理，只要在平面SCD內(nèi)找一直線垂直于平面SBC即可．取SC中點(diǎn)E，SB中點(diǎn)F，連接DE，EF，F(xiàn)A，則通過(guò)圖形容易看到DE就是所找直線，容易說(shuō)明AF⊥SB，AF⊥BC，所以DE⊥SB，DE⊥BC，SB∩BC=B，所以DE⊥平面SBC，DE?平面SCD，所以平面SCD⊥平面SBC；
（2）由（1）知AF⊥平面SBC，過(guò)F作FG⊥SA，垂足為G，因?yàn)镈A⊥平面SAB，所以DA⊥FG，即FG⊥DA，所以FG⊥平面SAD，所以AF與FG的夾角等于平面SAD與平面SBC所成銳角二面角，所以在Rt△AFG中，求出邊AF，F(xiàn)G的長(zhǎng)度，便可求出cos∠AFG．

解答： 解：（1）如圖，取SC中點(diǎn)E，SB中點(diǎn)F，連接DE，EF，F(xiàn)A，則：
EF∥BC，且EF=

1

2

BC，∵DA⊥平面SAB，BC⊥平面SAB，∴DA∥BC，∴EF∥DA，EF=DA；
∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴DE∥AF；
∵AB=SA，F(xiàn)是SB中點(diǎn)，∴AF⊥SB；
又BC⊥平面SAB，AF?平面SAB，∴BC⊥AF，即AF⊥BC；
即AF⊥SB，AF⊥BC，∴DE⊥SB，DE⊥BC，SB∩BC=B；
∴DE⊥平面SBC，DE?平面SCD；
∴平面SCD⊥平面SBC；
（2）由（1）知AF⊥平面SBC，過(guò)F作FG⊥SA，交SA于G；
∵DA⊥平面SAB，F(xiàn)G?平面SAB；
∴DA⊥FG，即FG⊥DA，SA∩DA=A；
∴FG⊥平面SAD，∴∠AFG等于平面SAD與平面SBC所成銳角二面角；
在Rt△SAF中，SA=2，∠BAS=120°，∴∠ASB=30°，∴AF=1；
∴在Rt△SFG中，F(xiàn)G=

1

2

SF=

3

2

；
∴cos∠AFG=

FG

AF

=

3 2

1

=

3

2

；
∴平面SAD與平面SBC所成銳角二面角的余弦值為

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：考查線面垂直的性質(zhì)，中衛(wèi)線的性質(zhì)，線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，以及二面角的概念．