分析 (1)由奇函數(shù)性質(zhì)得f(-x)=1−2−xa+2−x+1=-f(x)=2x−1a+2x+1,由此能求出a的值.
(2)f(x)=1−2x2+2x+1,在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).令2x=t,由定義法能證明f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).
(3)不等式f(mt2+1)+f(1-mt)<0恒成立,等價(jià)于不等式f(mt2+1)<f(mt-1)恒成立,由f(x)在R上是減函數(shù),得對(duì)任意的t∈R,mt2+1>mt-1恒成立,由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答 解:(1)∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=1−2xa+2x+1是奇函數(shù),
∴f(-x)=1−2−xa+2−x+1=2x−1a×2x+2=-f(x)=2x−1a+2x+1,
∴a×2x+2=a+2x+1,
解得a=2.
檢驗(yàn):a=2時(shí),f(x)=2x−12+2x+1,
∴f(-x)=2−x−12+2−x+1=1−2x2•2x+2,
∴f(x)+f(-x)=0對(duì)x∈R恒成立,即f(x)是奇函數(shù).
∴當(dāng)函數(shù)f(x)=1−2xa+2x+1是奇函數(shù)時(shí),a的值為2.
(2)由(1)知f(x)=1−2x2+2x+1,f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).
證明如下:
令2x=t,則y=1−t2+2t=12×1−t1+t=-12(1-2t+1)=-12+1t+1,
在(-∞,+∞)上任取x1,x2,令x1<x2,
∵t=2x在(-∞,+∞)上是增函數(shù),∴0<t1<t2,
∴y1-y2=(-12+1t1+1)-(-12+1t2+1)=1t1+1−1t2+1=t2−t1(t1+1)(t2+1),
∵0<t1<t2,∴t2-t1>0,t1+1>0,t2+1>0,
∴y1-y2>0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).
(3)∵f(x)是奇函數(shù),
∴不等式f(mt2+1)+f(1-mt)<0恒成立,等價(jià)于不等式f(mt2+1)<f(mt-1)恒成立,
∵f(x)在R上是減函數(shù),
∴對(duì)任意的t∈R,mt2+1>mt-1恒成立,
整理,得:mt2-mt+2>0對(duì)任意的t∈R恒成立,
當(dāng)m=0時(shí),不等式為2>0恒成立,符合題意;
當(dāng)m≠0時(shí),{m>0△=m2−8m<0,解得0<m<8.
綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0,8).
點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法,考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)的性質(zhì)、換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.
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A. | -1 | B. | 1 | C. | 2 | D. | -2 |
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A. | {x|-3<x<0,或x>3} | B. | {x|x<-3,或0<x<3} | C. | {x|-3<x<0,或0<x<3} | D. | {x|x<-3,或x>3} |
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A. | 18 | B. | 19 | C. | 20 | D. | 21 |
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A. | 1 | B. | -3 | C. | 3 | D. | 32 |
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A. | ∅ | B. | {x|x≥1} | C. | {x|x>1} | D. | {x|x≥1或x<0} |
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