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8.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=12xa+2x+1是奇函數(shù),
(1)求a的值;
(2)試判斷f(x)在(-∞,+∞)的單調(diào)性,并請(qǐng)你用函數(shù)單調(diào)性的定義給予證明;
(3)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)<0恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

分析 (1)由奇函數(shù)性質(zhì)得f(-x)=12xa+2x+1=-f(x)=2x1a+2x+1,由此能求出a的值.
(2)fx=12x2+2x+1,在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).令2x=t,由定義法能證明f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).
(3)不等式f(mt2+1)+f(1-mt)<0恒成立,等價(jià)于不等式f(mt2+1)<f(mt-1)恒成立,由f(x)在R上是減函數(shù),得對(duì)任意的t∈R,mt2+1>mt-1恒成立,由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解答 解:(1)∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=12xa+2x+1是奇函數(shù),
∴f(-x)=12xa+2x+1=2x1a×2x+2=-f(x)=2x1a+2x+1,
∴a×2x+2=a+2x+1,
解得a=2.
檢驗(yàn):a=2時(shí),f(x)=2x12+2x+1,
∴f(-x)=2x12+2x+1=12x22x+2
∴f(x)+f(-x)=0對(duì)x∈R恒成立,即f(x)是奇函數(shù).
∴當(dāng)函數(shù)f(x)=12xa+2x+1是奇函數(shù)時(shí),a的值為2.
(2)由(1)知fx=12x2+2x+1,f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).
證明如下:
 令2x=t,則y=1t2+2t=12×1t1+t=-12(1-2t+1)=-12+1t+1,
在(-∞,+∞)上任取x1,x2,令x1<x2,
∵t=2x在(-∞,+∞)上是增函數(shù),∴0<t1<t2,
∴y1-y2=(-12+1t1+1)-(-12+1t2+1)=1t1+11t2+1=t2t1t1+1t2+1
∵0<t1<t2,∴t2-t1>0,t1+1>0,t2+1>0,
∴y1-y2>0,
∴f(x)在(-∞,+∞)上是單調(diào)遞減函數(shù).
(3)∵f(x)是奇函數(shù),
∴不等式f(mt2+1)+f(1-mt)<0恒成立,等價(jià)于不等式f(mt2+1)<f(mt-1)恒成立,
∵f(x)在R上是減函數(shù),
∴對(duì)任意的t∈R,mt2+1>mt-1恒成立,
整理,得:mt2-mt+2>0對(duì)任意的t∈R恒成立,
當(dāng)m=0時(shí),不等式為2>0恒成立,符合題意;
當(dāng)m≠0時(shí),{m0△=m28m0,解得0<m<8.
綜上,實(shí)數(shù)m的取值范圍為[0,8).

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)值的求法,考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷與證明,考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意函數(shù)的性質(zhì)、換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用.

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