Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，AB=BC，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，過點D作DE⊥BC，垂足為E，連接EA交⊙O于點F．求證：
（Ⅰ）DE是⊙O的切線；
（Ⅱ）BE•CE=EF•EA．

Answer 1

考點：與圓有關(guān)的比例線段,圓的切線的判定定理的證明

專題：推理和證明

分析：（Ⅰ）連結(jié)OD，由已知得∠ODA=∠OAD，∠OAD=∠C，從而∠ODA=∠C，進而DO∥BC，由此能證明DE是⊙O的切線．
（Ⅱ）連接BD，由已知得∠BDA=90°，∠BDC=90°，DE²=BE•CE，由此利用切割線定理能證明BE•CE=EF•BA．

解答： 證明：（Ⅰ）連接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠OAD，
又∵AB=BC，∴∠OAD=∠C，∴∠ODA=∠C，∴DO∥BC，
又∵DE⊥BC，∴DO⊥DE，
∴DE是⊙O的切線．
（Ⅱ）連接BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠BDA=90°，
∴∠BDC=90°，∵DE⊥BC，∴DE²=BE•CE，
又∵DE切⊙O于點D，EFA是⊙O的割線．
∴DE²=EF•BA，
∴BE•CE=EF•BA．

點評：本小題主要考查與圓有關(guān)的比例線段、三角形相似、弦切角定理、切割線定理等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．