Question

如圖，⊙O的直徑AB=4，弦CD所在直線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P，且

AE

=

AC

，ED是AB交于點(diǎn)F．
（1）求證：PF•PO=PB•PA；
（2）若PB=2BF，試求PB的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段

專題：直線與圓,推理和證明

分析：（1）由

AE

=

AC

，得∠EDC=∠AOC，從而∠POC=∠FDP，進(jìn)而△POC∽△PDF，由此能證明PF•PO=PB•PA．
（2）設(shè)PB=x，則BF=

1

2

x，PF=

3

2

x，PO=x+2，PA=x+4，由PF•PO=PB•PA，能求出PB=2．

解答： （1）證明：∵

AE

=

AC

，∴∠EDC=∠AOC，
∴∠POC=∠FDP，∠P是公共角，
∴△POC∽△PDF，∴

PO

PC

=

PD

PF

，
∴PD•PC=PF•PO，
∵PD•PC=PB•PA，∴PF•PO=PB•PA．
（2）解：∵PB=2BF，∴設(shè)PB=x，則BF=

1

2

x，PF=

3

2

x，
又∵⊙O半徑為2，∴PO=x+2，PA=x+4，
由（1）知PF•PO=PB•PA，
∴

3

2

x(x+2)=x(x+4)，
解得x=2或x=0（舍），
∴PB=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長(zhǎng)乘積相等的證明，考查線段長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要注意同弧所對(duì)圓周角相等、三角形相似的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．