Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}（{x≤0}）\\ \sqrt{x}（{x＞0}）\end{array}\right.$若函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1）
• B． （0，+∞）
• C． （-1，0）
• D． （-∞，-1）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 原問題等價于函數(shù)y=f（x），與y=k（x-1）的圖象的圖象只有一個的交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合可得答案．

解答 解：函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一個零點(diǎn)，
∴f（x）-k（x-1）=0，
即：f（x）=k（x-1），
分別畫出y=f（x），與y=k（x-1）的圖象，如圖所示：
而y=k（x-1）的圖象恒過點(diǎn)（1，0），
當(dāng)過點(diǎn)B時此時k=-1，有兩個交點(diǎn)，
結(jié)合圖象可得當(dāng)k＜-1或x＞0時，函數(shù)g（x）=f（x）-k（x-1）有且只有一個零點(diǎn)，
故選：D

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．