Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點E，F(xiàn)是PC中點，G為AC上一點．
（1）求證：BD⊥FG；
（2）已知CG=

1

4

CA，求證：FG∥平面PBD；
（3）已知PA=AB，求PC與平面PBD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）要證：BD⊥FG，只需證明BD⊥平面PAC，即可；
（2）得出PE∥FG，根據(jù)判定定理求解證明，
（3）建立坐標(biāo)系求解平面PBD的法向量為

n

=（x，y，z），運(yùn)用向量的數(shù)量積求解判斷即可．

解答： 證明：（1）∵PA⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對角線BD，AC交于點E，
∴PA⊥BD，AC⊥BD，
∴BD⊥平面PAC，
∵FG?平面PAC，
∴BD⊥FG，
證明：（2）連接PE，
∵BD交AC于點E，F(xiàn)是PC中點，G為AC上一點，
∴E為AC，BD中點，
∵CG=

1

4

CA，
∴G為EC中點，
∴PE∥FG，
∵FG?平面PBD，PE?平面PBD，
∴FG∥平面PBD；


解：（3）以AB，AD，AP為x，y，z軸，建立坐標(biāo)系，
正方形的四棱錐P-ABCD中，PA=AB，
設(shè)PA=AB=1，
A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，1，0），P（0，0，1），C（1，1，0）
 

BD

=（-1，1，0），

BP

=（-1，0，1），

PC

=（1，1-1）
設(shè)平面PBD的法向量為

n

=（x，y，z），
∴

n • BD =0 n • BP =0

，

-x+y=0 -x+z=0

得出x=y=z=1，
∴

n

=（1，1，1），cos＜

n

•

PC

＞=

1

3 × 3

=

1

3

，
∴PC與平面PBD所成角與夾角的關(guān)系得出：
PC與平面PBD所成角的正弦值

1

3

點評：本題考查了空間幾何體中的線面關(guān)系，線線關(guān)系，夾角問題，屬于中檔題，難度不大．