Question

已知函數(shù)f（x）=|x-4|+|x+3|．
（1）解不等式f（x）＜9
（2）若不等式f（x）＜|a-2|+1在實(shí)數(shù)R上的解集不是空集，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：帶絕對(duì)值的函數(shù)

專(zhuān)題：計(jì)算題,分類(lèi)討論,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）通過(guò)絕對(duì)值因式為0，求出x的值，分三個(gè)區(qū)間討論：x≤-3，-3＜x≤4，x＞4，去掉絕對(duì)值符號(hào)，再根據(jù)不等式的性質(zhì)求出x的取值范圍即可；
（2）由絕對(duì)值的幾何意義知|x-4|+|x+3|表示實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)到-3和到4兩點(diǎn)的距離之和，故范圍可求出，由題意|a-2|+1大于|x-4|+|x+3|的最小值即可．

解答： 解：（1）①當(dāng)x≤-3時(shí)，原不等式可化為-（x-4）-（x+3）=-2x+1＜9，
解得，x＞-4，結(jié)合x(chóng)≤-3，
故-4＜x≤-3是原不等式的解；
②當(dāng)-3＜x≤4時(shí)，原不等式可化為-（x-4）+x+3=7＜9，
此時(shí)不等式恒成立，
故-3＜x≤4是原不等式的解；
③當(dāng)x＞4時(shí)，原不等式化為x-4+x+3=2x-1＜9，
解之得x＜5，
故4＜x＜5是原不等式的解．
由①②③可知，-4＜x＜5，
故原不等式的解集為{x|-4＜x＜5}；
（2）由絕對(duì)值的幾何意義知|x-4|+|x+3|表示實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)到-3和到4兩點(diǎn)的距離之和，
故|x-4|+|x+3|≥7，
由題意，不等式|x-4|+|x+3|＜|a-2|+1在實(shí)數(shù)集上的解不為空集，
只要|a-2|+1＞（|x-4|+|x+3|）_min即可，
即|a-2|+1＞7，解得a＞8或a＜-4，由于a＞0，則a＞8．
故正數(shù)a的取值范圍是：（8，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)及其解法，這類(lèi)題目是高考的熱點(diǎn)，難度不是很大，要注意不等號(hào)進(jìn)行放縮的方向．