Question

【題目】對于函數(shù)f（x），若存在x∈R，使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)．已知函數(shù)f（x）=ax2+（b+1）x+（b﹣1）（a≠0）．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若對任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若f（x）的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為x1 ， x2 ， 且f（x1）+x2= ，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=x2+3x+1，因?yàn)閤0為不動(dòng)點(diǎn)，

因此 ，所以x0=﹣1，

所以﹣1為f（x）的不動(dòng)點(diǎn)

（2）解：因?yàn)閒（x）恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，f（x）=ax2+（b+1）x+（b﹣1）=x，

ax2+bx+（b﹣1）=0（※），

由題設(shè)b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，

即對于任意b∈R，b2﹣4ab+4a＞0恒成立，

所以（4a）2﹣4（4a）＜0a2﹣a＜0，所以0＜a＜1

（3）解：因?yàn)? ，所以 ，

令t=a2∈（0，1），則 ， ，

∴2+ ＞3，可得b= ∈（0， ）

∴

【解析】（1）寫出函數(shù)f（x）=x2+3x+1，利用不動(dòng)點(diǎn)定義，列出方程求解即可．（2）f（x）恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，得到ax2+（b+1）x+（b﹣1）=x，通過b2﹣4a（b﹣1）＞0恒成立，利用判別式得到不等式求解即可．（3）利用定義推出 ，通過換元令t=a2∈（0，1），任何求解b的范圍．