Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差d≠0，它的前n項和為S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{

an+6

(n+1)Sn

}的前n項和為T_n，求證：1≤T_n＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）應(yīng)用等差數(shù)列的求和和通項公式，即可得到；
（Ⅱ）求出S_n，化簡數(shù)列{

an+6

(n+1)Sn

}，應(yīng)用裂項相消求和，得到2（1-

1

n+1

），再由單調(diào)性，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：依題意，有

S5=70 a72=a2a22

，即

5a1+10d=70 (a1+6d)2=(a1+d)(a1+21d)

解得a₁=6，d=4，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=4n+2（n∈N*）．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得S_n=2n²+4n，
∴

an+6

(n+1)Sn

=

4n+2+6

(n+1)(2n2+4n)

=

4(n+2)

2n(n+1)(n+2)

=

2

n(n+1)

，
∴Tn=2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=2(1-

1

n+1

)，
∵{

1

n+1

}是遞減數(shù)列，且n∈N^*，
∴0＜

1

n+1

≤

1

2

．∴-

1

2

≤-

1

n+1

＜0，
∴1≤Tn=2(1-

1

n+1

)＜2．

點評：本題考查等差數(shù)列的通項公式和求和公式，同時考查數(shù)列求和方法：裂項相消法，以及數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用，是一道綜合題．