Question

已知f（x）=ax²+x-3．
（1）當a=2時，解不等式f（x）＞0；
（2）當a＞0時，?x₀∈[-1，2]，f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）把a=2代入不等式f（x）＞0，再由二次不等式的解法求解集；
（2）根據條件可得：求出f（x）在[-1，2]上的最大值大于零，根據對稱軸進行分類討論，利用二次函數的性質求出f（x）的最大值，列出不等式求出a的取值范圍．

解答： 解：（1）當a=2時不等式f（x）＞0為：2x²+x-3＞0，
即（2x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜-

3

2

，
所以不等式的解集是{x|x＞1或x＜-

3

2

}；
（2）因為當a＞0時，?x₀∈[-1，2]，f（x）＞0，
所以只要x∈[-1，2]，f（x）的最大值大于零即可，
函數f（x）=ax²+x-3的對稱軸是x=-

1

2a

，
由a＞0得，-

1

2a

＜0，
①當-1＜-

1

2a

＜0時，即a＞

1

2

，f（x）的最大值是f（2）=4a-1，
所以4a-1＞0，解得a＞

1

4

，即a＞

1

2

，
②當-

1

2a

≤-1時，此時0＜a≤

1

2

，所以函數f（x）在[-1，2]遞增，
則f（x）的最大值是f（2）=4a-1＞0，解得a＞

1

4

，
所以

1

4

＜a≤

1

2

，
綜上可得，a的取值范圍是a＞

1

4

．

點評：本題考查二次不等式的解法，由二次函數的性質求函數最值，及分類討論思想求出參數的范圍，屬于中檔題．